线性代数

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#1. 行列式

#基本概念

二阶行列式

三阶行列式

全排列

对换

n阶行列式

上下三角行列式

对角行列式

转置行列式

#性质

  • 转置行列式, 行列式不变
  • 对换行(列), 行列式变号
    • 两行(列)完全相同, 行列式=0
    • 两行(列)成比例, 行列式=0
  • 一行(列)乘k = 整体乘k
    • 行(列)系数提到外面, 行列式不变
  • 可以按照某一行(列)分成两个行列式相加
  • 一行乘k加到另一行, 行列式不变

#按行(列)展开

  • 余子式MijM_{ij}
  • 代数余子式Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}{M_{ij}}

#性质

  • 按行(列)展开法则D=∑i=1naijAij,(j=1,2,...,n)=∑j=1naijAij,(i=1,2,...,n)D=\sum_{i=1}^{n}{a_{ij}A_{ij}}, (j=1,2,...,n)=\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}A_{ij}}, (i=1,2,...,n)

  • 如果上式中aa和AA的j(i)j(i)错开, 则结果为0

#范德蒙德行列式

Dn=∣11...1x1x2...xnx12x22...xn2:::x1n−1x2n−1...xnn−1∣=∏n≥i≥j≥1(xi−xj)(注意顺序)D_n=\begin{vmatrix} 1&1&...&1 \\ x_1&x_2&...&x_n \\ x_1^2&x_2^2&...&x_n^2 \\ :&:& &: \\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{n\ge i\ge j\ge 1}{(x_i-x_j)} (注意顺序)

#2. 矩阵及其运算

线性方程组

非齐次线性方程组

齐次线性方程组

齐次线性方程组的零解

#矩阵

同型矩阵

系数矩阵

未知数矩阵

常数项矩阵

增广矩阵

线性变换

#按性质

  • 非奇异矩阵/可逆矩阵/满秩矩阵
  • 奇异矩阵/不可逆矩阵/降秩矩阵

#按形状

  • 对角矩阵
  • 单位矩阵
  • 对称矩阵

#矩阵运算

  • 矩阵加法
    • 负矩阵
  • 数乘
  • 矩阵乘法
    • 可交换
    • 纯量阵: 一定可交换
  • 幂
  • 转置
  • 行列式
  • 伴随矩阵
  • 矩阵多项式

#性质

#转置性质
  • 自反性(AT)T=A(A^{T})^{T}=A
  • 线性(λA+B)T=λAT+BT(\lambda A+B)^{T}=\lambda A^{T}+B^{T}
  • 嵌套(AB)T=BTAT(AB)^{T}=B^{T}A^{T}
  • 判零ATA=O⇔A=OA^TA=O\Leftrightarrow A=O
#行列式性质
  • 常数放大∣λA∣=λn∣A∣\left|\lambda A\right|=\lambda^n\left|A\right|
  • 可乘性∣AB∣=∣A∣∣B∣\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|
#伴随矩阵性质
  • 与转置可交换(AT)∗=(A∗)T(A^T)^*=(A^*)^T
  • 与逆可交换(A−1)∗=(A∗)−1(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}
  • 嵌套(AB)∗=B∗A∗(AB)^*=B^*A^*
  • 常数部分放大(λA)∗=λn−1A∗(\lambda A)^*=\lambda^{n-1}A^*
#伴随矩阵的行列式和秩
  • ∣A∗∣=∣A∣n−1\left|A^*\right|=\left|A\right|^{n-1}
  • R(A∗)={n,R(A)=n (满秩不变)1,R(A)=n−1 (差1补1)0,R(A)<n−1 (否则为0,A∗=0)R(A^*)=\begin{cases}n,R(A)=n~(满秩不变)\\1,R(A)=n-1~(差1补1)\\0,R(A)<n-1~(否则为0, A^*=0)\end{cases}

#矩阵分块法

分块矩阵

子块

分块对角矩阵

  • 性质
    • 行列式∣A∣=∣A1∣∣A2∣...∣An∣\left|A\right|=\left|A_1\right|\left|A_2\right|...\left|A_n\right|
    • 逆

#3. 初等变换与线性方程组

#初等变换

  • 行(列)变换 等同于左(右)乘同样变化之后的EE

    • 对换两行(列)
    • 缩放某一行(列)加到另一行(列)上去 (源和目标可以一样)

  • 初等矩阵: 施加了一次初等行(列)变换的E

#矩阵等价

  • A和B等价: A经若干次初等变换可以变成B
  • 等价关系: 自反性, 对称性, 传递性
  • 推论:A∼(r)∼E⇔A可逆A\sim (r)\sim E\Leftrightarrow{A可逆}

#充要条件

  • A∼(r)∼B⇔PA=B(P,Q可逆)A\sim (r)\sim B\Leftrightarrow PA=B (P, Q可逆)
  • A∼(c)∼B⇔AQ=B(P,Q可逆)A\sim (c)\sim B\Leftrightarrow AQ=B (P, Q可逆)
  • A∼B⇔PAQ=B(P,Q可逆)A\sim B\Leftrightarrow PAQ=B (P, Q可逆)

#行阶梯形矩阵

左下角的0组成了一个从右下到左上的阶梯, 这个阶梯的宽度任意, 但是每一级的高度必定为1(两边不算)

非零首元: 非零行的首个非零元素

(x....0x...00x..000x.)(x....000x.0000000000)\begin{pmatrix} x & . & . & . & .\\ 0 & x & . & . & .\\ 0 & 0 & x & . & .\\ 0 & 0 & 0 & x & . \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & . & . & . & .\\ 0 & 0 & 0 & x & .\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

#行最简形矩阵

在行阶梯型矩阵的基础上, 非零首元都是1, 非零首元的上下都是0, 则为行最简形矩阵

(1000.0100.0010.0001.)(1..0.0001.0000000000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & .\\ 0 & 1 & 0 & 0 & .\\ 0 & 0 & 1 & 0 & .\\ 0 & 0 & 0 & 1 & . \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & . & . & 0 & .\\ 0 & 0 & 0 & 1 & .\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

  • 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的

#标准形

对行最简形矩阵施加初等列变换, 是非零首元依次排列在左边, 右边全0

特点是左上角是个E

(10000010000010000010)(10000010000000000000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

#技巧

#P(A,B)=(A′,B′)P(A,B)=(A',B')

  • P(A,E)=(E,A−1)P(A, E)=(E, A^{-1}), 求A逆常用方法
  • P(A,B)=(E,A−1B)P(A, B)=(E, A^{-1}B), 解方程常用方法

#矩阵的秩

  • 子式: 从行中选出一个子序列, 再从列中选出一个子序列, 得到的结果
  • 秩: 最高阶非零子式的阶数

#性质

  1. 秩一定小于行(列)数
  2. 转置不改变秩
  3. 等价矩阵的秩一样:A∼B⇔R(A)=R(B)A\sim B\Leftrightarrow{R(A)=R(B)}
  4. 乘可逆矩阵不改变秩
  5. 拼接矩阵的秩可能比原秩要大:max{R(A),R(B)}≤R(A  B)max\{R(A),R(B)\}\le{R(A~~B)}
  6. 拼接矩阵的秩不会大于原秩之和:R(A  B)≤R(A)+R(B)R(A~~B)\le{R(A)+R(B)}
  8. 秩和大于和秩(由上一条可证):R(A+B)≤R(A)+R(B)R(A+B)\le{R(A)+R(B)}
  9. 矩阵积的秩不大于任何一个原秩(从变换角度看):R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)\le{min\{R(A),R(B)\}}
  10. Am×nBn×l=O⇒R(A)+R(B)≤nA_{m\times n}B_{n\times l}=O\Rightarrow{R(A)+R(B)\le{n}}

列满秩: 秩等于列数, 对应的行最简形矩阵为(EnO)m×n\begin{pmatrix}E_{n} \\ O\end{pmatrix}_{m\times n}

  1. 乘法消去律:AB=O,A列满秩⇒B=OAB=O, A列满秩\Rightarrow B=O

#秩与线性方程组的解

  • 相容: 有解
  • 不相容: 无解
  • 判断条件Ax=bAx=b
  • 无解⇔R(A)<R(A  b)\Leftrightarrow{R(A)\lt{R(A~~b)}}
  • 有解⇔R(A)=R(A  b)\Leftrightarrow{R(A)={R(A~~b)}}
    • 有唯一解(齐次就是零解)⇔R(A)=R(A  b)=n\Leftrightarrow{R(A)=R(A~~b)=n}
    • 有无穷解(齐次有非零解)⇔R(A)=R(A  b)<n\Leftrightarrow{R(A)=R(A~~b)\lt n}

#4. 向量组, 线性相关性

  • n维向量
  • 实向量
  • 复向量
  • 单位坐标向量: E的列向量

#向量组

#线性表示

  • 线性组合
  • 线性表示: 一个向量(组)能被另一个向量组线性表示
  • 向量组等价: 两个向量组能互相线性表示

#定理

  • 向量b能被向量组A线性表示⇔R(A)=R(A  b)\Leftrightarrow{R(A)=R(A~~b)}

  • 向量组A能被向量组B线性表示⇔R(A)=R(A  B)\Leftrightarrow R(A)=R(A~~B)

  • 向量组A, B能相互线性表示(等价)⇔R(A)=R(B)=R(A  B)\Leftrightarrow{R(A)=R(B)=R(A~~B)}

  • 若AB=C,则C的列向量组能被A的列向量组线性表示,表示的系数为B若AB=C, 则C的列向量组能被A的列向量组线性表示, 表示的系数为B

  • 同理,C的行向量组能被B的行向量组线性表示,表示的系数为A同理, C的行向量组能被B的行向量组线性表示, 表示的系数为A

  • 向量组B能被向量组A线性表示⇔R(B)=R(B  A)⇒R(B)≤R(A)向量组B能被向量组A线性表示\Leftrightarrow R(B)=R(B~~A)\Rightarrow{R(B)\le R(A)}

#线性相关

线性相关: 存在一个系数非全零的线性组合=0的向量组

线性无关

#性质

  • 线性相关⇔R(A)<m线性相关\Leftrightarrow{R(A)\lt m}
  • 线性无关⇔R(A)=m线性无关\Leftrightarrow{R(A)=m}
  • 线性相关具有保持性质线性相关具有保持性质
  • 秩<向量个数⇔线性相关秩\lt向量个数\Leftrightarrow{线性相关}
  • 向量维数<向量个数⇒线性相关向量维数\lt向量个数\Rightarrow{线性相关}
  • 线性无关向量组A+b变线性相关⇒b能被A唯一线性表示线性无关向量组A+b变线性相关\Rightarrow{b能被A唯一线性表示}

#向量组的秩

向量组

最大(线性)无关(向量)组

秩: 最大无关组的向量个数

#性质见上节

#线性方程组解的结构

  • 齐次: 解的线性组合仍是解
  • 因此只要找到解集的一个最大无关组即可得出所有解

#齐次线性方程组Ax=OAx=O

  • 基本解系: 齐次的解集的一个最大无关组
  • 基本解系的秩:
    • 对于方程组Am×nx=0,RS=n−R(A)A_{m\times n}x=0, R_S=n-R(A)
  • 求解步骤:
    1. 对A进行行变换变成行最简形矩阵
    2. 得到x之间的关系
    3. 给每个自由变量赋值一个线性无关的向量(一般取单位向量)

例题:

#性质
  • Ax=OAx=O 和Bx=OBx=O 同解⇒R(A)=R(B)\Rightarrow R(A)=R(B)

#非齐次线性方程组Ax=bAx=b

  • 非齐次: 利用齐次
  • 找到一个特解, 加上齐次的通解即为最终解

#向量空间

  • 向量空间: 对线性运算封闭的集合
  • 子空间: 含于另一个向量空间的向量空间
  • 基: 在向量空间中, 可以线性表示空间中任一向量的线性无关的向量组
  • 自然基:RnR^n中的单位坐标向量组
  • 维数: 基的向量个数(固定)
  • 坐标: 一个向量在某一个基下的表示
  • 基变换公式: 用一个基来表示另一个基的坐标(没啥用)

B=AP=AA−1BB=AP=AA^{-1}B

  • 过渡矩阵: 旧基逆乘新基, 可以用初等变换的方法快速求

P=A−1BP=A^{-1}B

  • 坐标变换公式: 一个向量在两个不同基下的坐标的关系式

新坐标 Z=P−1Y新坐标~Z=P^{-1}Y

#5. 相似矩阵与二次型

  • 内积: 数量积的推广,[A,B]=ATB[A,B]=A^TB
  • 长度(范数): 模的推广,∣∣x∣∣=[x,x]\left|\left|x\right|\right|=\sqrt{[x,x]}
  • 投影:c=[a,b][b,b]bc=\frac{[a,b]}{[b,b]}b
  • 单位向量
  • 单位化
  • 夹角:θ=arccos⁡[x,y]∣∣x∣∣ ∣∣y∣∣\theta=\arccos{\frac{[x,y]}{\left|\left|x\right|\right|~\left|\left|y\right|\right|}}

#正交矩阵

  • 正交: 夹角为0
  • 正交向量组: 一组向量两两正交, 必定线性无关
  • 标准正交基: 单位向量组成的正交向量组
  • 标准正交化, 施密特正交化
  • 正交(矩)阵: 单位正交向量组构成的矩阵
    • AAT=E=ATAAA^T=E=A^TA
    • AT=A−1A^T=A^{-1}
    • ∣A∣=1或−1\left|A\right|=1或-1
    • 正交矩阵的逆(转置)也是正交矩阵
    • 正交矩阵的积还是正交矩阵
  • 正交变换: 若PP是正交矩阵, 则线性变换y=Pxy=Px称为正交变换
    • 变换前后的长度不变∣∣y∣∣=yTy=xTPTPx=xTx=∣∣x∣∣||y||=\sqrt{y^Ty}=\sqrt{x^TP^TPx}=\sqrt{x^Tx}=||x||

#特征值和特征向量

特征多项式:f(λ)=∣A−λE∣f(\lambda)=\left|A-\lambda E\right|

特征值/特征向量:A为n阶矩阵,满足Ax=λx,(A−λE)x=0的λ和xA为n阶矩阵, 满足Ax=\lambda x, (A-\lambda E)x=0的\lambda和x

个数:f(λ)=0是一元n次方程,λ必有n个根,所以方程有n个解f(\lambda)=0是一元n次方程, \lambda必有n个根, 所以方程有n个解

#性质

  • 特征值之和等于矩阵的迹
  • 特征值之积等于矩阵的行列式
  • 矩阵多项式的特征值等于矩阵特征值的多项式:f(λ)f(\lambda)是f(A)f(A)的特征值
  • 特征值各不相等 -> 特征向量线性无关
  • 对角矩阵的对角元就是其特征值

#求法

  1. 根据特征多项式=0求出特征值
  2. 将每个特征值代回原方程, 写出特征向量(个数=n-特征值重数)

#相似矩阵

相似矩阵:P−1AP=BP^{-1}AP=B

相似变换:P−1APP^{-1}AP

#性质

  • 特征多项式(f(λ)=∣A−λE∣f(\lambda)=\left|A-\lambda E\right|)相同
  • 特征值相同
  • 迹相同
  • 计算矩阵多项式:φ(A)=Pφ(B)P−1\varphi(A)=P\varphi(B)P^{-1}
    • 一般B是对角矩阵, 从而可以快速计算B的幂:

φ(Λ)=(φ(λ1)φ(λ2)...φ(λn))\varphi(\Lambda)=\begin{pmatrix} \varphi(\lambda_1)&&&\\ &\varphi(\lambda_2)&&\\ &&...&\\ &&&\varphi(\lambda_n) \end{pmatrix}

#对角化

对角化: 寻找相似变换矩阵P来使P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda为对角矩阵

能对角化的条件:A有n个线性无关的特征向量A有n个线性无关的特征向量

  • 常用条件:
  • 有n个各不相同的特征值有n个各不相同的特征值
  • 如果特征值有重根,则可以判断特征矩阵的秩如果特征值有重根, 则可以判断特征矩阵的秩

#对称矩阵的对角化

对称矩阵的性质:

  • 特征值为实数
  • 不相等的特征值对应的特征向量正交
  • 一定存在正交矩阵P使得A可以被对角化为以特征值为对角元的对角矩阵

求法:

  1. 求出A的特征值
  2. 求出所有特征向量
  3. 把这些特征向量正交化, 单位化
  4. 排列得到PP和Λ\Lambda, 注意两者对应

#二次型, 标准形

二次型: 含n个变量的二次齐次函数

f(x1,x2,...,xn)=∑ai,jxixjf(x_1,x_2,...,x_n)=\sum{a_{i,j}x_{i}x_{j}}

标准形(法式): 只含平方项的二次型

f(x1,x2,...,xn)=∑kixi2f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum{k_{i}x_{i}^2}

规范形: 系数只在-1,0,1中取值的标准形

二次型的矩阵表示: 二次型可以用系数组成的对称矩阵唯一表示

f=∑aijxixj,(aij=aji)=(x1x2...xn)(a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann)(x1x2...xn)=xTAx\begin{aligned} f&=\sum{a_{ij}x_{i}x_{j}}, (a_{ij}=a_{ji})\\ &=\begin{pmatrix} x_1&x_2&...&x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n \end{pmatrix}\\ &=x^TAx \end{aligned}

二次型的秩: 对应矩阵的秩

#合同对角化

合同:若存在可逆矩阵C使得B=CTAC,则称B与A合同若存在可逆矩阵C使得B=C^TAC, 则称B与A合同

性质

  • 对阵矩阵的合同矩阵也对称

合同对角化: 寻找可逆矩阵CC, 使得CTACC^TAC为对角矩阵, 从而使二次型AA通过x=Cyx=Cy变换成标准形

f=xTAx=yT(CTAC)y\begin{aligned} f&=x^TAx\\ &=y^T(C^TAC)y \end{aligned}

可以证明(由对称矩阵性质)这个矩阵一定存在, 而且是正交矩阵, 变换后的CTACC^TAC由特征值构成

#正定二次型

惯性定理: 同一个二次型的两种标准化结果中正负系数的个数相同

正(负)惯性指数: 其中的正(负)系数的个数

正(负)定二次型, 正(负)定矩阵: 如果二次型的值恒大(小)于零(x=0除外), 则称f为正(负)定二次型, 称A是正(负)定的

  • 正定⇔正惯性指数=n⇔特征值全正⇔各阶主子式都为正⇔存在可逆P,使得PTAP=E(与E合同)正定\Leftrightarrow正惯性指数=n\Leftrightarrow特征值全正\Leftrightarrow各阶主子式都为正\Leftrightarrow存在可逆P,使得P^TAP=E(与E合同)
  • 负定⇔奇数阶主子式为负,偶数阶为正负定\Leftrightarrow奇数阶主子式为负, 偶数阶为正

#6. 线性空间与线性变换

  • 向量空间(线性空间): 定义了线性运算且封闭, 且满足以下运算规律的非空集合
    1. 加法交换律 结合律
    2. 加法零元 逆元
    3. 乘法单位元
    4. 乘法交换律 结合律
    5. 乘法对加法分配律
  • 向量: 线性空间中的元素
  • 子空间: 线性空间的仍是线性空间的非空子集
  • 基, 维数, 坐标: 同线性空间
  • 过渡矩阵P=A−1BP=A^{-1}B
  • 基变换公式, 坐标变换公式

#线性变换

  • 映射(变换): 表示为β=T(α)或β=Tα\beta=T(\alpha)或\beta=T\alpha
  • 定义域A, 值域B, 像集T(A):T(A)={β=T(α)∣α∈A}⊆BT(A)=\{\beta=T(\alpha)|\alpha\in A\} \subseteq B
  • 线性映射(线性变换)
    • 从Vn到Um的保持线性组合的对应关系的映射. 特别地, 如果Vn=Um, 称T为线性空间Vn中的线性变换
    • T(a+b)=T(a)+T(b)T(a+b)=T(a)+T(b)
    • T(λb)=λT(b)T(\lambda b)=\lambda T(b)
  • 线性变换的性质:
    1. T(0)=0
    2. 线性组合的变换等于变换的线性组合
    3. 变换前线性相关=>变换后也线性相关
    4. 像集T(Vn)T(V_n)也是线性空间, 称为像空间
    5. NT={α∣α∈Vn,Tα=0}N_T=\{\alpha|\alpha\in V_n, T\alpha=0\}构成线性空间, 称为线性变换T的核

#线性变换的矩阵表示

线性变换的矩阵: 在Vn中取定一个基, 这个基的像的线性表示的系数矩阵称为线性变换在这个基下的矩阵, 即

{T(α1)=∑j=1naj1αjT(α2)=∑j=1naj2αj...T(αn)=∑j=1najnαj\left\{\begin{matrix} T(\alpha_1)=\sum_{j=1}^{n}{a_{j1}\alpha_j}\\ T(\alpha_2)=\sum_{j=1}^{n}{a_{j2}\alpha_j}\\ ...\\ T(\alpha_n)=\sum_{j=1}^{n}{a_{jn}\alpha_j} \end{matrix}\right.

令

A=(a11a12...a1na21a22...a2n:::an1an2...ann)A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ :& :& & :\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\\ \end{pmatrix}\\

则

T(α1,α2,...,αn)=(α1,α2,...,αn)A\begin{aligned} T(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)&=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)A \end{aligned}

#性质

  • 同一个变换在不同基下的矩阵相似, 且相似变换矩阵就是两个基的过渡矩阵P

#相似, 合同与等价

  • 等价⇔\LeftrightarrowAB秩相同
  • 合同: 等价+正负惯性系数相同
  • 相似: 合同+特征值相同+主对角线元素之和相同+矩阵的值相同

由此可见，等价到合同到相似，条件越来越苛刻，AB共同点越来越多