概率论与数理统计 - 概念总结

发表于 2023-10-27 更新于 2025-04-03 分类于 maths 阅读次数：本文字数： 3.6k 阅读时长 ≈ 13 分钟

#基本概念

随机试验: 可以在相同的条件下重复进行，并且每次试验的结果不确定，但试验前可以明确试验的所有可能结果。
样本空间: 随机试验 $E$ 的所有可能结果组成的集合，记为 $S$ 。
样本点: 样本空间中的元素，记为 $\omega$ 。
事件: 样本空间 $S$ 的子集称为随机事件，简称事件，通常用大写字母 $A, B, C, ...$ 表示。
基本事件: 只包含一个样本点的随机事件。

必然事件: 包含所有样本点的随机事件。
不可能事件: 不包含任何样本点的随机事件。

事件关系和运算

包含关系: $A \subset B$ ， $A$ 包含于 $B$ 。
相等关系: $A = B$ ， $A$ 等于 $B$ 。
和事件: $A \cup B$ ， $A$ 与 $B$ 至少有一个发生。
积事件: $A \cap B$ ， $A$ 与 $B$ 同时发生。
差事件: $A - B$ ， $A$ 发生而 $B$ 不发生。
互斥事件: $A \cap B = \emptyset$ ， $A$ 与 $B$ 不可能同时发生。
逆事件/对立事件: $A \cup B = S$ ， $A$ 与 $B$ 至少有一个发生。

频数: 在 $n$ 次试验中，事件 $A$ 发生的次数，记为 $n_A$ 。
频率: 事件 $A$ 发生的频率，记为 $f_n(A) = \frac{n_A}{n}$ 。
概率: 事件 $A$ 发生的可能性大小，记为 $P(A)$ ，满足以下三个条件:

非负性: $P(A) \geq 0$ 。
规范性: $P(S) = 1$ 。
可列可加性: 若 $A_1, A_2, ...$ 两两互斥，则 $P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$ 。

概率的性质推论：

$P(\emptyset) = 0$ 。
有限可加性: 若 $A_1, A_2, ...$ 两两互斥，则 $P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)$ 。
包含事件的概率: 若 $A \subset B$ ，则 $P(A) \leq P(B)$ 。
$P(A) \leq 1$ 。
互补事件的概率: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ 。
加法公式: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 。

古典概型/等可能概型: 符合以下条件的概率模型称为古典概型:

试验的样本空间是有限的。
试验的每个基本事件发生的可能性相同。

条件概率: 在事件 $A$ 已经发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率，记为 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$ 。

条件概率仍然是概率，满足概率的三个基本性质。

乘法定理, 乘法公式: $P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$ 。
划分: 若一组事件 $B_1, B_2, ...$ 满足 $B_i \cap B_j = \emptyset$ ， $i \neq j$ ，且 $\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i = S$ ，则称 $B_1, B_2, ...$ 是样本空间 $S$ 的一个划分。
全概率公式: 设 $B_1, B_2, ...$ 是样本空间 $S$ 的一个划分，且 $P(B_i) > 0$ ， $i = 1, 2, ...$ ，则对任一事件 $A$ ，有 $P(A) = \sum_{i=1}^{\infty}P(B_i)P(A|B_i)$ 。
贝叶斯公式: 设 $B_1, B_2, ...$ 是样本空间 $S$ 的一个划分，且 $P(B_i) > 0$ ， $i = 1, 2, ...$ ，则对任一事件 $A$ ，有 $P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{\infty}P(B_j)P(A|B_j)}$ 。
先验概率: 根据以往数据分析得到的概率。
后验概率: 得到新的信息后重新加以修正的概率。
独立: 如果 $P(AB) = P(A)P(B)$ ，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，简称 $A, B$ 独立。

#随机变量

随机变量: 定义在样本空间 $S$ 上的实值单值函数 $X = X(e)$ ，其中 $e \in S$ 。 PS. 将样本空间 $S$ 中的每个样本点 $e$ 对应到实数轴上的一个点 $X(e)$ 。单值函数: 对定义域每一个自变量 x，其对应的函数值 f（x）是唯一的。
离散型随机变量: 全部取值范围是有限个或可列无限多个的随机变量。
(0-1)分布: 可能结果只有 0 和 1 的分布，记 0 的概率为 $p$ ，1 的概率为 $1-p$ ，则 $P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k}$ 。
伯努利试验: 可能结果只有 $A$ 和 $\bar{A}$ 的随机试验。将伯努利试验独立重复进行 $n$ 次，称为 $n$ 重伯努利试验。
二项分布: 重复进行 $n$ 次伯努利试验，事件 $A$ 发生的次数 $X$ 服从二项分布，记为 $X \sim b(n, p)$ 。
泊松分布: 可能取值是 0, 1, 2, …，而取各个值的概率是 $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ ，其中 $\lambda > 0$ ，的随机变量 $X$ 的分布。称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X \sim \pi(\lambda)$ 。
泊松定理: 设常数 $\lambda > 0$ ， $n > 0$ ， $np_n=\lambda$ ，有 $\lim_{n \to \infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ 。也就是说，当 $n$ 很大（ $\geq 20$ ）， $p$ 很小( $\leq 0.05$ )时，二项分布近似于泊松分布。可以用泊松分布来计算二项分布的概率。
随机变量的分布函数: $F(x) = P(X \leq x)$ ， $x \in R$
连续性随机变量、概率密度: 如果对于分布函数 $F(x)$ ，存在非负函数 $f(x)$ ，满足 $F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt$ ，则称 $X$ 是连续型随机变量， $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度（函数）
均匀分布: 在区间 $(a,b)$ 上的概率密度函数符合 $f(x)=\frac{1}{b-a}$ 的分布。记为 $X \sim U(a,b)$ 。
指数分布: 在区间 $(0, +\infty)$ 上的概率密度函数符合 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ 的分布。记为 $X \sim E(\lambda)$ 。

指数分布的无记忆性: $P(X>s+t|X>s) = P(X>t)$

正态分布/高斯分布: 概率密度函数符合 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ 的分布。记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 。
伽马分布: 概率密度函数符合 $f(x)=\frac{\lambda^{\alpha}x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-\lambda x}$ 的分布。记为 $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$ 。其中 $\alpha$ 为形状参数， $\lambda$ 为比例参数。

也可以记为 $X \sim \Gamma(\alpha, \beta)$ ，其中 $\beta = \frac{1}{\lambda}$ 。

#多维随机变量

二维随机变量，联合分布函数: 由两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 构成的向量 $(X, Y)$ 称为随机变量。二元函数 $F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)$ 称为二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数。

类似地，二维随机变量也有离散型、连续性、分布律和概率密度函数等概念。

联合概率分布, 联合概率密度:

$F(x,y) = P(X\leq x, Y\leq y) = \int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)dudv$

边缘分布函数, 边缘概率密度:

$F_X(x) = F(x, +\infty), \\ F_Y(y) = F(+\infty, y), \\ f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy, \\ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$

条件概率密度, 在 $Y=y$ 的条件下:

$f_{X|Y}(x,y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

$Z=X+Y$ 的概率分布:

$F_Z(z) = P(Z\leq z) =\iint_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx$

如果 $X$ 和 $Y$ 独立, 卷积公式:

$= \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$

#随机变量的数字特征

数学期望, 简称期望, 又称为均值, 常用 $\mu$ 表示

$E(x) = \mu_x = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$

方差, 标准差:

$D(X) = Var(X) = E((X-\mu_x)^2) = E(X^2) - \mu_x^2, \\ \sqrt{D(X)} = \sigma_X = \sqrt{E((X-\mu_x)^2)}$

协方差: 用于衡量随机变量 X 与 Y 的相关性:

$Cov(X, Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$

相关系数: 剔除了两个变量量纲影响、标准化后的协方差:

$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

#参数估计

样本: $X_1, X_2, ..., X_n$ , $n$ 为样本大小/样本容量/样本量
统计量: 完全由样本决定的量
参数估计问题: 根据样本估计概率函数

设有了从总体中抽出的独立随机样本 $X_1, ..., X_n$ , 要依据这些样本去对参数 $\theta_1, ..., \theta_k$ 的未知值作出估计. 当然, 我们也可以只要求估计其中的一部分, 或估计它们的某个已知函数 $g(\theta_1, ..., \theta_k)$

矩估计: pass

最大似然估计:

设总体有分布 $f(X, \theta_1, …,\theta_k), $X_1, ...,X_n$ 为自这总体中抽出的样本, 则样本 $(X_1, ...,X_n)$ 的分布(即其概率密度函数或概率函数)为

$L(X_1, ..., X_n, \theta_1,..., \theta_k) = f(X_1, \theta_1, ..., \theta_k) f(X_2, \theta_1, ..., \theta_k) ... f(X_n, \theta_1, ..., \theta_k)$

似然函数: 将上式视为 $\theta$ 的函数, 称为似然函数
最大似然估计: 对于已知的样本, 估计最优的 $\theta$ 值，使得似然函数最大化，即为最大似然估计

#随机过程

随机过程: 依赖于参数 $t \in T$ 的一族随机变量，记为 $\{X(t), t \in T\}$ ，其中： $T$ 为参数集。 $t$ 通常表示时间。 $X(t)$ 表示在时刻 $t$ 时过程的状态。 $X(t)$ 的所有可能取值的集合称为状态空间。
样本函数/样本曲线: 对随机过程的一次试验，得到的函数 $x(t), t \in T$ 。
伯努利过程/伯努利随机序列: 与时间无关的随机过程，即 $X(t) = X$ 。 PS. 例如多次抛硬币的过程。

根据任一时刻 $t$ 的状态 $X(t)$ 是连续型还是离散型，随机过程分为连续型随机过程和离散型随机过程。
根据时间参数 $t$ 是连续还是离散，随机过程分为连续参数随机过程和离散参数随机过程活随机序列。

一维分布函数，一维分布函数族: 随机变量 $X(t)$ 的分布函数，记为 $F_X(x, t) = P(X(t) \leq x)$ ，称为一维分布函数。 $F_X(x, t)$ 的全体集合称为一维分布函数族。
n 维分布函数族: 对于 $n$ 个时刻 $t_1, t_2, ..., t_n$ ， $n$ 个随机变量 $X(t_1), X(t_2), ..., X(t_n)$ 的分布函数族。
均值函数: 随机变量 $X(t)$ 的所有样本函数在时刻 $t$ 的平均值，也称集平均或统计平均，记为 $\mu_X(t) = E[X(t)]$ 。
均方值函数: 随机变量 $X(t)$ 的二阶原点矩，记为 $\Psi^2_X(t) = E[X^2(t)]$ 。
方差函数: 随机变量 $X(t)$ 的二阶中心矩，记为 $D_X(t) = E[(X(t) - \mu_X(t))^2]$ 。
标准差函数: 方差函数的算术平方根，记为 $\sigma_X(t) = \sqrt{D_X(t)}$ 。
(自)相关函数: 两个随机变量 $X(t_1)$ 和 $X(t_2)$ 的二阶原点混合矩，记为 $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$ 。
(自)协方差函数: 两个随机变量 $X(t_1)$ 和 $X(t_2)$ 的二阶混合中心矩，记为 $C_X(t_1, t_2) = Cov[X(t_1), X(t_2)] = E[(X(t_1) - \mu_X(t_1))(X(t_2) - \mu_X(t_2))]$ 。
二阶矩过程: 随机过程 $X(t)$ 的二阶矩 $E[X^2(t)]$ 对于任意时间 $t$ 都存在。
正态过程: 对于任意有限个时刻 $t_1, t_2, ..., t_n$ ， $n$ 个随机变量 $X(t_1), X(t_2), ..., X(t_n)$ 的任意线性组合服从正态分布的随机过程。
二维随机过程: 由两个随机变量 $X(t)$ 和 $Y(t)$ 构成的随机过程。
n+m 维(联合)分布函数: 对于 $n+m$ 个时刻 $t_1, t_2, ..., t_n; t'_1, t'_2, ..., t'_m$ ， $n+m$ 个随机变量 $X(t_1), X(t_2), ..., X(t_n); Y(t'_1), Y(t'_2), ..., Y(t'_m)$ 的分布函数。
独立增量过程: 随机过程 $X(t)$ 的任意两个不相交时间区间上的增量相互独立。
增量具有平稳性: 随机过程 $X(t)$ 的任意两个相同长度的时间区间上的增量具有相同的分布。说明增量的统计特性与时间的起点无关，只与时间间隔有关。
计数过程: 表示在连续时间区间 $[0, t]$ 内某事件发生的次数的随机过程，记为 $N(t)$ 。

时间间隔 $(t_0, t]$ 内事件发生的次数记为 $N(t_0, t) = N(t) - N(t_0)$ 。
时间间隔 $(t_0, t]$ 内事件发生 $k$ 次的概率记为 $P_k(t_0, t) = P\{N(t_0, t) = k\}$ 。

泊松过程: 如果计数过程 $N(t)$ 满足以下条件，则称 $N(t)$ 为强度为 $\lambda$ 的泊松过程:

$N(0) = 0$ 。
$N(t)$ 是独立增量过程。
对于充分小的 $\Delta t$ ，事件发生一次的概率 $P_1\{N(t, t+\Delta t)\} = \lambda \Delta t + o(\Delta t)$ ， $o(\Delta t)$ 是关于 $\Delta t$ 的高阶无穷小。
对于充分小的 $\Delta t$ ，事件发生 $j \geq 2$ 次的概率 $P_j\{N(t, t+\Delta t)\} = o(\Delta t)$ 。

泊松过程的性质：

增量 $N(t_0, t)$ 服从参数为 $\lambda(t - t_0)$ 的泊松分布，数学表示 $N(t_0, t) \sim \pi(\lambda(t - t_0))$ ，注：泊松分布 $P_\lambda(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
均值函数 $\mu_N(t) = E[N(t)] = \lambda t$
方差函数 $D_N(t) = Var[N(t)] = \lambda t$
协方差函数 $C_N(t_1, t_2) = Cov[N(t_1), N(t_2)] = \lambda \min(t_1, t_2)$
相关函数 $R_N(t_1, t_2) = E[N(t_1)N(t_2)] = \lambda^2 t_1 t_2 + \lambda \min(t_1, t_2)$

泊松流: 泊松过程中事件发生的时刻。
泊松过程等待时间: 泊松过程中第 $n$ 个事件发生的时间，记为 $W_n = t_n$ ，特别地， $W_0 = 0$ 。

泊松过程等待时间的性质：

$W_n$ 的分布函数 $F_{W_n}(t) = P\{W_n \leq t\} \\ = 1 - P\{W_n > t\} \\ = 1 - P\{N(t) < n\} \\ = P\{N(t) \geq n\} \\ = \sum_{k=n}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}$ 。
$W_n$ $W_{n}$ 的概率密度函数 $f_{W_n}(t) = \frac{dF_{W_n}(t)}{dt} = \frac{\lambda^n t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda t}$ $f_{W_{n}} (t) = \frac{d F _{W_{n}} ( t )}{d t} = \frac{λ ^{n} t ^{n - 1}}{( n - 1 )!} e^{- λ t}$ ，即 $W_n \sim \Gamma(n, \lambda)$ $W_{n} \sim Γ (n, λ)$ 。
- 注：伽马分布 $\Gamma(\alpha, \lambda)$ ： $f(x)=\frac{\lambda^{\alpha}x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-\lambda x}$
- 当 $n = 1$ 时，伽马分布即指数分布。

点间间距: 泊松过程中相邻两个事件的时间间隔，记为 $T_n = W_n - W_{n-1}$ 。

$T_n$ 的概率密度函数 $f_{T_i}(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ ，即 $T_i \sim E(\lambda)$ ，即指数分布。

泊松过程的性质：

泊松过程的点间间距是独立同分布的指数分布。
如果一个过程的点间间距是独立同分布的指数分布，那么这个过程是泊松过程。

维纳过程: 满足以下条件的二阶矩过程 $W(t)$ 称为维纳过程：

$W(0) = 0$ 。
$W(t_1, t_2) \sim N(0, \sigma^2 (t_2 - t_1))$ 。
具有独立增量性质。

均值函数 $\mu_W(t) = 0$ 。
方差函数 $D_W(t) = \sigma^2 t$ 。
协方差函数 $C_W(t_1, t_2) = Cov[W(t_1), W(t_2)] = \sigma^2 \min(t_1, t_2)$ 。

#马尔可夫链

马尔可夫性: 过程的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔科夫过程: 具有马尔可夫性的随机过程。